Exponentialfunktionen

Das Wichtigste kurz erklärt

Exponentialfunktionen in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Exponentialfunktion

   Bei f(x) = a·bˣ steht x im Exponenten. a ist der Anfangswert, b der Wachstumsfaktor.

   f(x) = 3·2ˣ: f(0) = 3·1 = 3, f(2) = 3·4 = 12.

2. Wachstum und Zerfall

   Ist b > 1, wächst die Funktion; ist 0 < b < 1, fällt sie (Zerfall). Die x-Achse ist beim Zerfall eine Asymptote.

   5 % Wachstum → b = 1,05. 20 % Zerfall → b = 0,8.

3. Linear gegen exponentiell

   Linear: gleicher Summand. Exponentiell: gleicher Faktor – darum überholt es auf Dauer jedes lineare Wachstum.

   Start 100, Faktor 2/h: nach 2 h → 100·2² = 400.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Eine Exponentialfunktion hat die Form …

   • Af(x) = a·x + b
   • Bf(x) = xⁿ
   • Cf(x) = a·bˣ (x im Exponenten)
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – f(x) = a·bˣ (x im Exponenten)

   Kennzeichen: die Variable x steht im Exponenten (a·bˣ) – nicht in der Basis wie bei der Potenzfunktion xⁿ.

2. f(x) = 3·2ˣ. Berechne f(0).Antwort: b⁰ = 1

   Lösung anzeigen

   Lösung: 3

   2⁰ = 1, also 3·1 = 3.

3. Ein Zerfall von 20 % pro Jahr hat den Faktor b = ___.Antwort: 1 − p

   Lösung anzeigen

   Lösung: 0,8

   1 − 0,2.

4. Die x-Achse ist beim Zerfall (b < 1) eine …

   • AAsymptote (wird nie erreicht)
   • BNullstelle
   • CSymmetrieachse
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – Asymptote (wird nie erreicht)

   Die Werte nähern sich beliebig der 0, erreichen sie aber nie – die x-Achse ist eine Asymptote.

5. Warum überholt exponentielles Wachstum auf Dauer jedes lineare Wachstum? Wähle die Begründung.

   • Adas stimmt nicht
   • Bweil exponentiell schöner aussieht
   • Cbeim exponentiellen Wachstum vervielfacht sich der Bestand immer wieder, während linear nur ein fester Betrag dazukommt
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – beim exponentiellen Wachstum vervielfacht sich der Bestand immer wieder, während linear nur ein fester Betrag dazukommt

   Vervielfachen schlägt Addieren.

6. Berechne y für y = 2^x bei x = 3.

   • A16
   • B9
   • C8
   • D6
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – 8

   2³ = 8.

7. Berechne y für y = 3^x bei x = 2.

   • A9
   • B6
   • C5
   • D8
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – 9

   3² = 9.

8. Was ist die Verdopplungszeit?

   • Adie halbe Periode
   • Bdie Zeit, in der sich der Wert verdoppelt
   • Cdie Steigung
   • Ddie Zeit bis zum Wert null
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – die Zeit, in der sich der Wert verdoppelt

   Nach der Verdopplungszeit ist der Wert doppelt so groß.

9. Wo schneidet y = a·b^x die y-Achse?

   • Abei y = a
   • Bbei y = 1 immer
   • Cbei y = 0
   • Dbei y = b
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – bei y = a

   Bei x = 0 ist y = a.

10. Weshalb erreicht a^x nie den Wert null?

    • Aweil eine Potenz mit positiver Basis stets positiv bleibt
    • Bweil sie steigt
    • Cweil eine Exponentialfunktion grundsätzlich immer genau durch den Ursprung verlaufen muss
    Lösung anzeigen

    Richtig: A – weil eine Potenz mit positiver Basis stets positiv bleibt

    a^x wird nie null.

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