Sinus- & Kosinussatz

Das Wichtigste kurz erklärt

Sinus- & Kosinussatz in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Beliebige Dreiecke

   In Dreiecken ohne rechten Winkel helfen Sinus- und Kosinussatz. Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ.

   Bekannt: a = 10, sin α = 0,5, sin β = 0,25 → b = 10·0,25/0,5 = 5.

2. Kosinussatz

   a² = b² + c² − 2bc·cos α. Für α = 90° wird cos 90° = 0 – dann ist es der Satz des Pythagoras.

   b = 3, c = 4, α = 90° → a = √(9 + 16) = 5.

3. Fläche

   Aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel: A = ½·a·b·sin γ. Die Innenwinkelsumme ist 180°.

   a = 4, b = 6, sin γ = 0,5 → A = ½·24·0,5 = 6.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Wofür braucht man Sinus- und Kosinussatz?

   • Anur für Kreise
   • Bfür beliebige Dreiecke (nicht nur rechtwinklige)
   • Cnur für Quadrate
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   Richtig: B – für beliebige Dreiecke (nicht nur rechtwinklige)

   Mit ihnen rechnet man in beliebigen Dreiecken – nicht nur in rechtwinkligen wie beim Pythagoras.

2. Was ist der Kosinussatz im rechtwinkligen Dreieck (α = 90°)?

   • Ader Strahlensatz
   • Bder Satz des Pythagoras (cos 90° = 0)
   • Cder Sinussatz
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   Richtig: B – der Satz des Pythagoras (cos 90° = 0)

   Für α = 90° ist cos 90° = 0, der Korrekturterm fällt weg – übrig bleibt a² = b² + c² (Pythagoras).

3. Im Dreieck sind α = 50° und β = 60°. Dann ist γ = 180° − 50° − 60° = ___ °Antwort: 180−α−β

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   Lösung: 70

   Winkelsumme.

4. Sinussatz: a/sin α = b/sin β. Mit a = 10, sin α = 0,5, sin β = 0,25: b = a·sin β / sin α = ___Antwort: umstellen

   Lösung anzeigen

   Lösung: 5

   10·0,25/0,5 = 5.

5. Warum ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Pythagoras?

   • Areiner Zufall
   • Bsie sind nicht verwandt
   • Cfür α = 90° wird der Zusatzterm 0
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – für α = 90° wird der Zusatzterm 0

   Für α = 90° wird 2bc·cos α = 0, und der Kosinussatz geht genau in a² = b² + c² über.

6. Wie lautet der Kosinussatz?

   • AU = πd
   • Ba : sin α = b : sin β
   • Cc² = a² + b² − 2ab·cos γ
   • DA = πr²
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – c² = a² + b² − 2ab·cos γ

   Der Kosinussatz verallgemeinert Pythagoras.

7. Welcher Satz verallgemeinert den Satz des Pythagoras?

   • Ader Kosinussatz
   • Bder Sinussatz
   • Cder Strahlensatz
   • Dder Satz des Thales
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   Richtig: A – der Kosinussatz

   Der Kosinussatz enthält Pythagoras als Sonderfall.

8. Wie viele Bestimmungsstücke braucht man mindestens für ein Dreieck?

   • Afünf
   • Beines
   • Czwei
   • Ddrei
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   Richtig: D – drei

   Drei Angaben legen ein Dreieck fest.

9. Kann man mit dem Sinussatz fehlende Winkel finden?

   • Anur bei Kreisen
   • Bnur im rechten Winkel
   • Cja
   • Dnein
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – ja

   Der Sinussatz liefert auch Winkel.

10. Begründe, warum man im nicht rechtwinkligen Dreieck den Kosinussatz braucht.

    • Aweil cos kurz ist
    • Bweil der Satz des Pythagoras grundsätzlich in absolut jedem beliebigen Dreieck gilt
    • Cweil der Satz des Pythagoras hier nicht gilt
    Lösung anzeigen

    Richtig: C – weil der Satz des Pythagoras hier nicht gilt

    Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

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