Logarithmus

Das Wichtigste kurz erklärt

Logarithmus in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Was ist ein Logarithmus?

   log_b(x) fragt: Mit welchem Exponenten muss man b potenzieren, um x zu erhalten? Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens.

   log₂(8) = 3, denn 2³ = 8. log₁₀(1000) = 3.

2. Logarithmengesetze

   log(a·b) = log(a) + log(b); log(a/b) = log(a) − log(b); log(aⁿ) = n·log(a).

   log(10⁵) = 5·log(10) = 5.

3. Wozu der Logarithmus?

   Steht die gesuchte Größe im Exponenten (z. B. die Zeit), holt nur der Logarithmus sie heraus.

   2ˣ = 8 → x = log₂(8) = 3.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Was fragt der Logarithmus log_b(x)?

   • Amit welchem Exponenten man b potenzieren muss, um x zu erhalten
   • Bdie Wurzel aus x
   • Cwie groß x mal b ist
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – mit welchem Exponenten man b potenzieren muss, um x zu erhalten

   log_b(x) sucht den Exponenten: Mit welcher Hochzahl muss man b potenzieren, um x zu erhalten?

2. Der Logarithmus ist die Umkehrung …

   • Ades Potenzierens
   • Bnur des Wurzelziehens
   • Cdes Addierens
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – des Potenzierens

   Der Logarithmus macht das Potenzieren rückgängig und löst dabei nach dem Exponenten auf.

3. log(a^n) = n·log(a). Also log(10⁵) = ___ (log = log₁₀).Antwort: Exponent vorziehen

   Lösung anzeigen

   Lösung: 5

   5·1 = 5.

4. log₅(25) = ___Antwort: Exponent

   Lösung anzeigen

   Lösung: 2

   5² = 25.

5. Warum nutzt man den Logarithmus, um die Verdopplungszeit zu berechnen? Wähle die Begründung.

   • Adas ist reiner Zufall
   • Bdie gesuchte Größe steht im Exponenten, und nur der Logarithmus holt einen Exponenten aus der Gleichung heraus
   • Cweil Logarithmen einfach sind – so jedenfalls die verbreitete Annahme, wie man es im Alltag oft hört, was auf den ersten Blick einleuchtet
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – die gesuchte Größe steht im Exponenten, und nur der Logarithmus holt einen Exponenten aus der Gleichung heraus

   Exponent freistellen.

6. Berechne log₁₀(1000).

   • A10
   • B100
   • C2
   • D3
   Lösung anzeigen

   Richtig: D – 3

   10³ = 1000, also 3.

7. Was fragt log₂(8)?

   • A8 mal 2
   • B2 hoch wie viel ergibt 8?
   • C8 geteilt durch 2
   • D2 plus 8
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – 2 hoch wie viel ergibt 8?

   Der Logarithmus sucht den Exponenten.

8. Wie lautet das Logarithmusgesetz für log(a · b)?

   • Alog a + log b
   • Blog a · log b
   • Clog a : log b
   • Dlog a − log b
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – log a + log b

   Produkt wird zur Summe der Logarithmen.

9. Was ist der natürliche Logarithmus?

   • Agar kein Logarithmus
   • Bder Logarithmus zur Basis e
   • Cder Logarithmus zur Basis 2
   • Dder Logarithmus zur Basis 10
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – der Logarithmus zur Basis e

   Der natürliche Logarithmus hat die Basis e.

10. Weshalb ist der Logarithmus von 1 gleich 0?

    • Aweil jede Basis hoch 0 gleich 1 ist
    • Bweil der Logarithmus von eins grundsätzlich immer unendlich groß werden muss
    • Cweil 1 klein ist
    Lösung anzeigen

    Richtig: A – weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ist

    a⁰ = 1, also log(1) = 0.

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