Potenz- & Wurzelfunktionen

Das Wichtigste kurz erklärt

Potenz- & Wurzelfunktionen in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Potenzfunktionen

   Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xⁿ. Der Graph von x² ist eine Parabel, der von x³ eine kubische Kurve.

   f(x) = x²: f(3) = 9. f(x) = x³: f(2) = 8.

2. Symmetrie

   Gerade Exponenten (x², x⁴) ergeben achsensymmetrische, ungerade (x³, x⁵) punktsymmetrische Graphen.

   x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse, x³ punktsymmetrisch zum Ursprung.

3. Wurzel als Umkehrung

   Die Wurzelfunktion √x ist die Umkehrung von x² (für x ≥ 0). Man schreibt √x = x^(1/2), und 1/x² = x⁻².

   Aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Quadratwurzel.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Eine Potenzfunktion hat die Form …

   • Af(x) = n + x
   • Bf(x) = n·x
   • Cf(x) = xⁿ
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – f(x) = xⁿ

   Bei xⁿ steht die Variable in der Basis, der Exponent ist fest – anders als n·x (Vielfaches) oder n+x (Summe).

2. f(x) = x³. Berechne f(2).Antwort: hoch 3

   Lösung anzeigen

   Lösung: 8

   2³ = 8.

3. Schreibe 1/x² als Potenz mit negativem Exponenten: x hoch ___.Antwort: negativ

   Lösung anzeigen

   Lösung: -2

   1/x² = x⁻².

4. Was ist der Definitionsbereich von f(x) = √x?

   • Ax ≥ 0
   • Balle x
   • Cx < 0
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   Richtig: A – x ≥ 0

   Nur x ≥ 0, denn aus negativen Zahlen lässt sich im Reellen keine Quadratwurzel ziehen.

5. Warum ist die Wurzelfunktion nur für x ≥ 0 definiert? Wähle die Begründung.

   • Adas ist reine Festlegung
   • Bweil Wurzeln immer klein sind, was viele zunächst vermuten – so jedenfalls die verbreitete Annahme, wie man es im Alltag oft hört
   • Caus einer negativen Zahl lässt sich im Reellen keine Quadratwurzel ziehen, weil kein reelles Quadrat negativ wird
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – aus einer negativen Zahl lässt sich im Reellen keine Quadratwurzel ziehen, weil kein reelles Quadrat negativ wird

   Quadrate sind nie negativ.

6. Wie verläuft y = x³?

   • Aals waagerechte Linie
   • Bals Kreis
   • Cals Welle
   • Ddurch den Ursprung, punktsymmetrisch
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   Richtig: D – durch den Ursprung, punktsymmetrisch

   y = x³ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

7. Wie nennt man die Hochzahl n in x^n?

   • Adie Basis
   • Bdie Steigung
   • Cden Exponenten
   • Dden Faktor
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   Richtig: C – den Exponenten

   n ist der Exponent.

8. Was ist die Basis in x^n?

   • Ax
   • B0
   • Cn
   • D1
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   Richtig: A – x

   x ist die Basis, n der Exponent.

9. Durch welche Punkte gehen alle Funktionen y = x^n (n > 0)?

   • Adurch (0|0) und (1|1)
   • Bdurch (1|0)
   • Cdurch keinen festen Punkt
   • Dnur durch (2|2)
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – durch (0|0) und (1|1)

   Sie schneiden sich in (0|0) und (1|1).

10. Weshalb wächst x³ schneller als x²?

    • Aweil 3 ungerade ist
    • Bweil x² grundsätzlich immer viel größere Werte als x³ liefern muss
    • Cweil ein höherer Exponent stärker ansteigt
    Lösung anzeigen

    Richtig: C – weil ein höherer Exponent stärker ansteigt

    Höherer Exponent = stärkeres Wachstum.

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