Wahrscheinlichkeit

Das Wichtigste kurz erklärt

Wahrscheinlichkeit in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Wahrscheinlichkeit

   P = günstige Fälle : mögliche Fälle, ein Wert zwischen 0 und 1. Das Gegenereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 − P.

   Würfel, gerade Zahl: 3/6 = ½. P(keine 6) = 5/6.

2. Pfadregel

   Bei mehrstufigen Versuchen multipliziert man entlang der Pfade im Baumdiagramm.

   Zweimal Kopf: ½·½ = ¼. Münze und 6: ½·1/6 = 1/12.

3. Ziehen ohne Zurücklegen

   Wird eine Kugel nicht zurückgelegt, ändern sich auf der 2. Stufe Anzahl und Anteile. Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich dagegen nicht.

   Urne 4 rot, 6 blau: P(blau) = 6/10 = 0,6.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Die Wahrscheinlichkeit ist …

   • Aimmer 1
   • Bdie Anzahl der Versuche
   • Cgünstige Fälle geteilt durch mögliche Fälle
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   Richtig: C – günstige Fälle geteilt durch mögliche Fälle

   P = günstige Fälle / mögliche Fälle (bei Laplace) – ein Wert zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).

2. Was ist eine „bedingte Wahrscheinlichkeit"?

   • Adie Summe
   • Bdie Wahrscheinlichkeit für B, wenn A schon eingetreten ist
   • Cder Mittelwert
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   Richtig: B – die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A schon eingetreten ist

   Die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.

3. P(eine 6) = 1/6. P(keine 6) = 1 − 1/6 = ___ (Bruch ?/6)Antwort: 1 − P

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   Lösung: 5/6

   Gegenereignis.

4. Beim Ziehen OHNE Zurücklegen …

   • Agibt es kein Ergebnis
   • Bändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe
   • Cbleibt alles gleich
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   Richtig: B – ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe

   Nach dem ersten Zug ist eine Kugel weniger im Topf → auf der 2. Stufe gelten neue Wahrscheinlichkeiten.

5. Was berechnet die Additionsregel bei sich ausschließenden Ereignissen?

   • AP(A) − P(B)
   • BP(A)·P(B)
   • CP(A oder B) = P(A) + P(B)
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   Richtig: C – P(A oder B) = P(A) + P(B)

   Wahrscheinlichkeiten addieren.

6. Zwei Würfel: Wie groß ist P(beide zeigen 6)?

   • A1/12
   • B1/6
   • C2/6
   • D1/36
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   Richtig: D – 1/36

   1/6 · 1/6 = 1/36.

7. Wie verrechnet man verschiedene Pfade?

   • Aman multipliziert sie
   • Bman subtrahiert sie
   • Cman addiert sie
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   Richtig: C – man addiert sie

   Verschiedene Pfade werden addiert.

8. Was ist ein unabhängiges Ereignis?

   • Aeine Summe
   • Beines, das nie eintritt
   • Ceines, das ein anderes nicht beeinflusst
   • Deines, das immer eintritt
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   Richtig: C – eines, das ein anderes nicht beeinflusst

   Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht.

9. Was bedeutet „mit Zurücklegen"?

   • Adas Gezogene bleibt draußen
   • Bman würfelt
   • Cdas Gezogene wird zurückgelegt
   • Dman zieht nichts
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   Richtig: C – das Gezogene wird zurückgelegt

   Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich.

10. Begründe, warum man bei abhängigen Ereignissen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet.

    • Aweil zwei Ereignisse grundsätzlich immer völlig unabhängig voneinander sein müssen
    • Bweil es genauer ist
    • Cweil das erste Ereignis das zweite beeinflusst
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    Richtig: C – weil das erste Ereignis das zweite beeinflusst

    Abhängigkeit verlangt bedingte Wahrscheinlichkeiten.

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