Wachstum & Zerfall

Das Wichtigste kurz erklärt

Wachstum & Zerfall in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Linear oder exponentiell?

   Linear: gleicher Betrag pro Schritt. Exponentiell: gleicher Faktor. In einer Wertetabelle ist beim exponentiellen Wachstum der Quotient konstant.

   Linear: 100, 120, 140 (+20). Exponentiell: 100, 120, 144 (·1,2).

2. Verdopplungs- und Halbwertszeit

   Verdopplungszeit: bis sich der Bestand verdoppelt. Halbwertszeit: bis nur noch die Hälfte übrig ist.

   Halbwertszeit 5 Jahre → nach 10 Jahren ½·½ = 25 %.

3. Anwendungen

   Zinseszins, Bakterienwachstum und radioaktiver Zerfall verlaufen exponentiell.

   1000 € zu 2 %: nach 1 Jahr 1000·1,02 = 1020 €.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Lineares Wachstum bedeutet …

   • Anichts ändert sich
   • Bder gleiche Faktor
   • Cin gleichen Zeiten kommt der gleiche Betrag dazu
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – in gleichen Zeiten kommt der gleiche Betrag dazu

   In gleichen Zeitschritten kommt stets derselbe Betrag dazu (+ Summand) – der Graph ist eine Gerade.

2. Was ist die „Verdopplungszeit"?

   • Adie Hälfte der Zeit
   • Bdie Zeit, bis sich der Bestand verdoppelt
   • Cdie Startzeit
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – die Zeit, bis sich der Bestand verdoppelt

   Die Zeitspanne, in der sich der Bestand verdoppelt; bei exponentiellem Wachstum ist sie immer gleich lang.

3. Radioaktiver Zerfall ist ein Beispiel für …

   • Alineares Wachstum
   • Bexponentiellen Zerfall
   • CStillstand
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – exponentiellen Zerfall

   Pro Halbwertszeit halbiert sich die Menge (·½) – das ist exponentieller Zerfall, kein lineares Abnehmen.

4. Der Graph des exponentiellen Zerfalls nähert sich …

   • Aeiner Geraden
   • Bder y-Achse
   • Cder x-Achse, ohne sie zu erreichen
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – der x-Achse, ohne sie zu erreichen

   Die Kurve kommt der x-Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nie (Asymptote).

5. Wie erkennt man in einer Wertetabelle exponentielles Wachstum?

   • Adie Differenz ist konstant
   • Bder Quotient aufeinanderfolgender Werte ist konstant
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – der Quotient aufeinanderfolgender Werte ist konstant

   Nicht die Differenz, sondern der Quotient aufeinanderfolgender Werte ist konstant (= Wachstumsfaktor).

6. Welcher Wachstumsfaktor gehört zu +10 %?

   • A10
   • B0,1
   • C0,9
   • D1,1
   Lösung anzeigen

   Richtig: D – 1,1

   +10 % entspricht dem Faktor 1,1.

7. Was ist die Halbwertszeit?

   • Adie Steigung
   • Bdie Zeit, in der die Hälfte zerfällt
   • Cdie Verdopplungszeit
   • Ddie Zeit bis zum Wert null
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – die Zeit, in der die Hälfte zerfällt

   Nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte übrig.

8. Wächst exponentielles Wachstum am Ende schneller als lineares?

   • Agleich schnell
   • Bnein
   • Cja
   • Dnur am Anfang
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – ja

   Exponentielles Wachstum überholt lineares.

9. Was bedeutet begrenztes Wachstum?

   • AStillstand
   • BWachstum, das sich einer Grenze nähert
   • Cunendliches Wachstum
   • DAbnahme
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – Wachstum, das sich einer Grenze nähert

   Begrenztes Wachstum strebt einer Schranke zu.

10. Weshalb beschreibt man radioaktiven Zerfall mit einer Exponentialfunktion?

    • Aweil radioaktiver Zerfall grundsätzlich in jeder Sekunde dieselbe feste Menge abbaut
    • Bweil es schnell geht
    • Cweil pro Halbwertszeit jeweils die Hälfte zerfällt
    Lösung anzeigen

    Richtig: C – weil pro Halbwertszeit jeweils die Hälfte zerfällt

    Pro Halbwertszeit halbiert sich die Menge.

Weitere Themen in Mathematik · Klasse 10

Alle 9 Themen im Überblick