Terme & binomische Formeln

Das Wichtigste kurz erklärt

Terme & binomische Formeln in 4 Schritten – mit Beispielen.

1. Binomische Formeln

   Drei feste Formeln zum schnellen Ausmultiplizieren und Faktorisieren.

   (a+b)² = a² + 2ab + b² (a−b)² = a² − 2ab + b² (a+b)(a−b) = a² − b²

2. Das mittlere Glied

   Bei (a±b)² niemals das doppelte Produkt 2ab vergessen!

   (x+3)² = x² + 6x + 9 (x−5)² = x² − 10x + 25

3. Ausklammern

   Den größten gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen.

   6x + 9 = 3·(2x + 3) 12a + 8 = 4·(3a + 2)

4. Faktorisieren (3. Formel)

   Die 3. binomische Formel rückwärts gelesen.

   x² − 16 = (x + 4)(x − 4)

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Die 1. binomische Formel lautet (a + b)² = …

   • Aa² − 2ab + b²
   • Ba² + 2ab + b²
   • Ca² + b²
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   Richtig: B – a² + 2ab + b²

   (a+b)² = a² + 2ab + b² – das doppelte Produkt 2ab gehört dazu.

2. (x − 5)² = x² − ___ + 25 (mittleres Glied)Antwort: Glied mit x

   Lösung anzeigen

   Lösung: 10x

   2·x·5 = 10x.

3. Fasse zusammen: 3x + 5x − 2x = …

   • A10x
   • B8x
   • C6x
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – 6x

   6x – nur die Vorzahlen gleichartiger Glieder werden verrechnet: 3 + 5 − 2 = 6.

4. Berechne 3·(a − 2) + 4 für a = 5: ___Antwort: Zahl

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   Lösung: 13

   3·3 + 4 = 9 + 4 = 13.

5. (2x)² = ___ · x²Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 4

   (2x)² = 2²·x² = 4x².

6. Was ergibt (a+b)(a−b)?

   • Aa² − 2ab + b²
   • Ba² + b²
   • Ca² − b²
   • Da² + 2ab − b²
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – a² − b²

   3. binomische Formel: a²−b².

7. Was ergibt (2x+1)²?

   • A4x² + 4x + 1
   • B4x² + 1
   • C2x² + 2x + 1
   • D4x² + 2x + 1
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – 4x² + 4x + 1

   (2x)²+2·2x·1+1² = 4x²+4x+1.

8. Faktorisiere x² + 10x + 25.

   • A(x−5)²
   • B(x+25)(x+1)
   • C(x+5)(x−5)
   • D(x+5)²
   Lösung anzeigen

   Richtig: D – (x+5)²

   1. binom. rückwärts: (x+5)².

9. Faktorisiere x² − 49.

   • A(x+7)(x−7)
   • B(x−49)(x+1)
   • C(x+7)²
   • D(x−7)²
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – (x+7)(x−7)

   49=7², also 3. binom.

10. Begründe, warum (a+b)² nicht a²+b² ergibt.

    • Aweil b klein ist
    • Bweil man eine Klammer beim Quadrieren grundsätzlich überhaupt nicht auflösen darf
    • Cweil zusätzlich das gemischte Glied 2ab entsteht
    • Dweil a größer ist
    Lösung anzeigen

    Richtig: C – weil zusätzlich das gemischte Glied 2ab entsteht

    (a+b)² = a²+2ab+b².

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