Lineare Gleichungssysteme

Das Wichtigste kurz erklärt

Lineare Gleichungssysteme in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Was ist ein LGS?

   Ein lineares Gleichungssystem (LGS) sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y). Gesucht ist das Zahlenpaar, das beide erfüllt.

   I: x + y = 5 II: x − y = 1

2. Additionsverfahren

   Man addiert oder subtrahiert die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt.

   I + II: 2x = 6 → x = 3. Einsetzen in I: 3 + y = 5 → y = 2.

3. Einsetzungsverfahren

   Man stellt eine Gleichung nach einer Variablen um und setzt sie in die andere ein.

   Aus II: x = y + 1. In I: (y+1) + y = 5 → 2y = 4 → y = 2.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Ein lineares Gleichungssystem hat …

   • Aimmer drei Variablen
   • Bzwei Gleichungen mit zwei Variablen
   • Cnur eine Gleichung
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – zwei Gleichungen mit zwei Variablen

   Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

2. Beim Additionsverfahren …

   • Aaddiert man die Gleichungen, um eine Variable zu eliminieren
   • Brät man die Lösung
   • Cmultipliziert man immer beide
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – addiert man die Gleichungen, um eine Variable zu eliminieren

   Eine Variable fällt weg.

3. Wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, gibt es …

   • Agenau eine
   • Bkeine Lösung
   • Cunendlich viele Lösungen
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – unendlich viele Lösungen

   Unendlich viele Lösungen – jeder Punkt der Geraden erfüllt beide Gleichungen.

4. Welches Verfahren passt, wenn eine Gleichung schon „y = …" ist?

   • Adas Einsetzungsverfahren
   • Bgar keines
   • Cdas Additionsverfahren
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – das Einsetzungsverfahren

   Das Einsetzungsverfahren: den fertigen Term für y direkt in die andere Gleichung einsetzen.

5. Löse: x − y = 1 und x + y = 9. x = ___Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 5

   Addieren: 2x = 10.

6. Was ist der Schnittpunkt zweier Geraden?

   • Adie Lösung des LGS
   • Bder y-Achsenabschnitt
   • Cdie Nullstelle
   • Ddie Steigung
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – die Lösung des LGS

   Im Schnittpunkt gelten beide Gleichungen.

7. Wie viele Lösungen haben zwei identische Geraden?

   • Azwei
   • Bunendlich viele
   • Cgenau eine
   • Dkeine
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – unendlich viele

   Sie liegen aufeinander.

8. Löse x − y = 2 und x + y = 8.

   • Ax = 6, y = 2
   • Bx = 5, y = 3
   • Cx = 4, y = 4
   • Dx = 3, y = 5
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – x = 5, y = 3

   Addieren: 2x = 10, x = 5, y = 3.

9. Löse x + y = 7 und 2x + y = 10.

   • Ax = 2, y = 5
   • Bx = 3, y = 4
   • Cx = 4, y = 3
   • Dx = 5, y = 2
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – x = 3, y = 4

   Subtrahieren: x = 3, y = 4.

10. Weshalb haben parallele Geraden keine gemeinsame Lösung?

    • Aweil sie gleich lang sind
    • Bweil parallele Geraden grundsätzlich an unendlich vielen Punkten zusammenfallen
    • Cweil sie sich nie schneiden
    Lösung anzeigen

    Richtig: C – weil sie sich nie schneiden

    Ohne Schnittpunkt keine Lösung.

Weitere Themen in Mathematik · Klasse 9

Alle 9 Themen im Überblick