Quadratische Gleichungen

Das Wichtigste kurz erklärt

Quadratische Gleichungen in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Was ist eine quadratische Gleichung?

   Eine Gleichung mit x² heißt quadratisch, z. B. x² + px + q = 0. Sie kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.

   x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = 3 oder x = −3.

2. Die p-q-Formel

   Für x² + px + q = 0 gilt: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.

   x² − 5x + 6 = 0: p = −5, q = 6 → x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5 → x = 3 oder x = 2.

3. Anzahl der Lösungen

   Ist die Diskriminante > 0 → zwei Lösungen, = 0 → eine, < 0 → keine (reelle) Lösung.

   x² + 1 = 0 hat keine reelle Lösung (Diskriminante < 0).

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Eine quadratische Gleichung enthält …

   • Aein x² (quadratisches Glied)
   • Bnur x
   • Cnur Zahlen
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   Richtig: A – ein x² (quadratisches Glied)

   Das x²-Glied ist entscheidend.

2. Löse x² − 5x + 6 = 0. Eine Lösung ist 2, die andere x = ___Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 3

   2 und 3 (2+3=5, 2·3=6).

3. Die Diskriminante D = (p/2)² − q < 0 bedeutet …

   • Agenau eine Lösung
   • Bkeine reelle Lösung
   • Czwei Lösungen
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – keine reelle Lösung

   Negative Diskriminante → keine Lösung.

4. Die Lösungen von x² + 2x − 8 = 0 sind x = 2 und x = ___Antwort: Zahl mit Vorzeichen

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   Lösung: −4

   2 und −4.

5. x² + px + q = 0 mit p = −5: −p/2 = ___Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 2,5

   −(−5)/2 = 2,5.

6. Womit löst man ax² + bx + c = 0?

   • Adurch Raten allein
   • Bmit dem Dreisatz
   • Cmit der pq- oder Mitternachtsformel
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   Richtig: C – mit der pq- oder Mitternachtsformel

   Die Lösungsformel liefert die Nullstellen.

7. Löse x² = 25.

   • Ax = 625
   • Bx = 5 und x = −5
   • Cx = 12,5
   • Dx = 5
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   Richtig: B – x = 5 und x = −5

   Wurzel: ±5.

8. Löse (x − 3)² = 0.

   • Ax = 9
   • Bx = 3
   • Cx = 3 und x = −3
   • Dx = 0
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – x = 3

   Doppellösung x = 3.

9. Löse x² + x = 0.

   • Ax = 0 und x = −1
   • Bx = −1
   • Cx = 0
   • Dx = 1
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   Richtig: A – x = 0 und x = −1

   x(x+1)=0.

10. Begründe, warum x² = 9 zwei Lösungen hat.

    • Aweil 9 ungerade ist
    • Bweil sowohl +3 als auch −3 quadriert 9 ergeben
    • Cweil jede Gleichung mit x grundsätzlich genau eine einzige Lösung besitzt
    Lösung anzeigen

    Richtig: B – weil sowohl +3 als auch −3 quadriert 9 ergeben

    (+3)² = (−3)² = 9.

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