Trigonometrie

Das Wichtigste kurz erklärt

Trigonometrie in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Sinus, Kosinus, Tangens

   Im rechtwinkligen Dreieck: sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete – bezogen auf einen Winkel.

   Merkhilfe: GAGA HühnerHof AGAH – sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A.

2. Seite berechnen

   Kennt man einen Winkel und eine Seite, berechnet man weitere Seiten mit sin/cos/tan.

   sin 30° = 0,5. Ist die Hypotenuse 10, so ist die Gegenkathete = 10 · sin 30° = 5.

3. Winkel berechnen

   Kennt man zwei Seiten, findet man den Winkel mit der Umkehrfunktion (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).

   tan α = 1 → α = tan⁻¹(1) = 45°.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(α) = …

   • AAnkathete : Hypotenuse
   • BGegenkathete : Ankathete
   • CGegenkathete : Hypotenuse
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – Gegenkathete : Hypotenuse

   Sinus = Gegenkathete durch Hypotenuse.

2. tan(45°) = ___Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 1

   Bei 45° sind beide Katheten gleich.

3. Die Hypotenuse ist …

   • Ader rechte Winkel selbst
   • Beine Kathete
   • Cdie längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel

   Längste Seite.

4. sin(α) ist im rechtwinkligen Dreieck immer …

   • Agrößer als 1
   • Beine Zahl zwischen 0 und 1
   • Cnegativ
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – eine Zahl zwischen 0 und 1

   Eine Zahl zwischen 0 und 1 – das Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse, und die Hypotenuse ist die längste Seite.

5. Warum sind sin, cos und tan eines Winkels in jedem rechtwinkligen Dreieck mit diesem Winkel gleich? Wähle die Begründung.

   • Aalle solchen Dreiecke sind zueinander ähnlich, daher sind ihre Seitenverhältnisse gleich
   • Bweil die Dreiecke immer gleich groß sind
   • Cdas ist reiner Zufall
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – alle solchen Dreiecke sind zueinander ähnlich, daher sind ihre Seitenverhältnisse gleich

   Ähnlichkeit → gleiche Verhältnisse.

6. Wie ist der Tangens eines Winkels definiert?

   • AGegenkathete : Hypotenuse
   • BGegenkathete : Ankathete
   • CHypotenuse : Gegenkathete
   • DAnkathete : Hypotenuse
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – Gegenkathete : Ankathete

   tan = Gegenkathete durch Ankathete.

7. Wie groß ist sin(0°)?

   • A0
   • B1
   • C0,5
   • D90
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   Richtig: A – 0

   sin(0°) = 0.

8. Womit findet man einen Winkel aus zwei bekannten Seiten?

   • Amit Sinus, Kosinus oder Tangens
   • Bmit dem Mittelwert
   • Cmit dem Dreisatz
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – mit Sinus, Kosinus oder Tangens

   Die Umkehrfunktionen liefern den Winkel.

9. Wo liegt die Ankathete eines Winkels?

   • Agegenüber dem Winkel
   • Bauf der Höhe
   • Caußerhalb
   • Dam betrachteten Winkel an
   Lösung anzeigen

   Richtig: D – am betrachteten Winkel an

   Die Ankathete liegt am Winkel.

10. Weshalb braucht man für den Sinus die Hypotenuse?

    • Aweil der Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse ist
    • Bweil man im Dreieck grundsätzlich nur die längste Seite überhaupt verwenden darf
    • Cweil sie lang ist
    Lösung anzeigen

    Richtig: A – weil der Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse ist

    sin = Gegenkathete : Hypotenuse.

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