Strahlensatz & Ähnlichkeit

Das Wichtigste kurz erklärt

Strahlensatz & Ähnlichkeit in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Ähnliche Figuren

   Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben – sie unterscheiden sich nur im Maßstab. Entsprechende Winkel sind gleich, entsprechende Längen stehen im gleichen Verhältnis.

   Ein Foto und seine vergrößerte Kopie sind ähnlich.

2. Der Strahlensatz

   Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von parallelen Geraden geschnitten, so stehen die Abschnitte im gleichen Verhältnis.

   Verhältnis: a/b = c/d. Kennt man drei Werte, lässt sich der vierte berechnen.

3. Anwendung: Höhe messen

   Mit ähnlichen Dreiecken (Schattenmethode) bestimmt man unzugängliche Höhen, z. B. von Bäumen.

   Stab 1 m wirft 2 m Schatten, Baum wirft 16 m Schatten → Baum = 16 : 2 = 8 m.

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn …

   • Asie genau gleich groß sind
   • Bsie dieselbe Form, aber andere Größe haben
   • Csie verschiedene Form haben
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – sie dieselbe Form, aber andere Größe haben

   Gleiche Form, andere Größe.

2. Strahlensatz a/b = c/d. Wenn a = 2, b = 4, c = 3, dann ist d = ___Antwort: Zahl

   Lösung anzeigen

   Lösung: 6

   2/4 = 3/d → d = 6.

3. Bei Ähnlichkeit ist das Verhältnis entsprechender Seiten …

   • Aimmer 1
   • Bkonstant (immer gleich)
   • Cimmer 2
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – konstant (immer gleich)

   Der Ähnlichkeitsfaktor ist konstant.

4. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie …

   • Ain zwei Winkeln übereinstimmen
   • Bgleiche Fläche haben
   • Cgleich heißen
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – in zwei Winkeln übereinstimmen

   Zwei gleiche Winkel genügen.

5. Maßstab 1 : 25 000: 4 cm auf der Karte sind ___ m in echt.Antwort: m

   Lösung anzeigen

   Lösung: 1000

   4 · 25 000 = 100 000 cm = 1000 m.

6. Was ist der Maßstab?

   • Adie Farbe
   • Bdie Zeit
   • Cdas Verhältnis von Abbildung zu Wirklichkeit
   • Ddas Gewicht
   Lösung anzeigen

   Richtig: C – das Verhältnis von Abbildung zu Wirklichkeit

   Der Maßstab gibt das Größenverhältnis an.

7. Wann sind zwei Dreiecke ähnlich?

   • Anie
   • Bwenn sie gleich alt sind
   • Cwenn sie gleich schwer sind
   • Dwenn ihre Winkel übereinstimmen
   Lösung anzeigen

   Richtig: D – wenn ihre Winkel übereinstimmen

   Gleiche Winkel bedeuten Ähnlichkeit.

8. Wie verhalten sich die Flächen bei einem Vergrößerungsfaktor k?

   • Awie k³
   • Bwie k² (das Quadrat des Faktors)
   • Cwie k
   Lösung anzeigen

   Richtig: B – wie k² (das Quadrat des Faktors)

   Flächen wachsen mit dem Quadrat.

9. Welchen Faktor hat eine Verkleinerung?

   • Aeinen Faktor kleiner als 1
   • Bgenau 1
   • Ceinen Faktor größer als 1
   • Dgenau 0
   Lösung anzeigen

   Richtig: A – einen Faktor kleiner als 1

   Verkleinern bedeutet Faktor < 1.

10. Begründe, warum ähnliche Figuren dieselben Winkel haben.

    • Aweil sie bunt sind
    • Bweil sie dieselbe Form, nur eine andere Größe haben
    • Cweil ähnliche Figuren grundsätzlich in jeder Hinsicht völlig identisch sein müssen
    Lösung anzeigen

    Richtig: B – weil sie dieselbe Form, nur eine andere Größe haben

    Ähnlichkeit erhält die Winkel.

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