Wurzeln & reelle Zahlen

Das Wichtigste kurz erklärt

Wurzeln & reelle Zahlen in 3 Schritten – mit Beispielen.

1. Die Quadratwurzel

   √a ist die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. √a · √a = a.

   √25 = 5, denn 5·5 = 25. √144 = 12.

2. Rechnen mit Wurzeln

   Wurzeln darf man unter der Wurzel multiplizieren und dividieren: √a · √b = √(a·b).

   √2 · √8 = √16 = 4. √(9·4) = √9 · √4 = 3·2 = 6.

3. Irrationale Zahlen

   Manche Wurzeln (z. B. √2) ergeben keine endliche oder periodische Dezimalzahl. Solche Zahlen heißen irrational; zusammen mit den rationalen bilden sie die reellen Zahlen.

   √2 ≈ 1,4142… (nie abbrechend, nie periodisch).

Übungsaufgaben mit Lösungen

10 Beispielaufgaben aus diesem Thema – erst selbst überlegen, dann die Lösung aufklappen.

1. Berechne √64 = ___Antwort: Zahl

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   Lösung: 8

   8² = 64.

2. Teilweises Wurzelziehen: √8 = …

   • A4·√2
   • B√2
   • C2·√2
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   Richtig: C – 2·√2

   √8 = √(4·2) = √4·√2 = 2√2 – den Quadratzahl-Faktor zieht man heraus.

3. Berechne √(16/4) = ___Antwort: Zahl

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   Lösung: 2

   √4 = 2.

4. Was ergibt √(x²) für x = −5?

   • A5 (der Betrag)
   • B25
   • C−5
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   Richtig: A – 5 (der Betrag)

   √(x²) = |x| (der Betrag): für x = −5 ergibt sich 5 – eine Wurzel ist nie negativ.

5. Warum ist √2 irrational? Wähle die Begründung.

   • Aweil 2 eine Primzahl ist
   • Bes lässt sich kein Bruch finden, dessen Quadrat genau 2 ergibt
   • Cweil die Wurzel zu groß ist
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   Richtig: B – es lässt sich kein Bruch finden, dessen Quadrat genau 2 ergibt

   √2 ist nicht als Bruch darstellbar.

6. Vereinfache √(a²) für a ≥ 0.

   • Aa²
   • Ba
   • C√a
   • D2a
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   Richtig: B – a

   Wurzel und Quadrat heben sich auf.

7. Berechne (√7)².

   • A√14
   • B7
   • C14
   • D49
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   Richtig: B – 7

   Quadrat hebt die Wurzel auf.

8. Vereinfache √50.

   • A2√5
   • B25
   • C5√2
   • D10√5
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   Richtig: C – 5√2

   √50 = √(25·2) = 5√2.

9. Wie nennt man Zahlen wie √2 oder √3?

   • Airrationale Zahlen
   • BBrüche
   • Cnatürliche Zahlen
   • Dganze Zahlen
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   Richtig: A – irrationale Zahlen

   Sie sind irrational.

10. Weshalb ist √2 keine rationale Zahl?

    • Aweil man sie nicht als Bruch darstellen kann
    • Bweil 2 gerade ist
    • Cweil jede Wurzel grundsätzlich immer eine ganze Zahl ergeben muss
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    Richtig: A – weil man sie nicht als Bruch darstellen kann

    √2 ist nicht als Bruch darstellbar.

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